《超越无穷大》（Beyond Infinity）是数学家尤金妮娅·程（Eugenia Cheng）2017 年出版的科普著作。她在前言里把数学比作乘船旅行：目的地只占一部分，沿途的风景、脑力的运用和对数学世界的观察同样重要。全书分两部分，前半部分"旅程"处理无穷到底是什么，后半部分"风景"处理无穷出现在哪里。
陈的研究领域是高维范畴论。她处理无穷的方式与这个背景有关：先把一个抽象结构安放到另一个抽象结构之上，一层层叠上去，直到层数本身不再需要上限。她在开头先列出小孩子对无穷的常见直觉——无穷比最大的数还大、给无穷加一还是无穷、无穷加无穷还是无穷、无穷乘无穷还是无穷——然后逐条检验这些直觉在严格逻辑下是否成立。
检验结果大多以失败告终。把无穷当作普通数代入方程，会在几行之内导出 1 = 0。陈主张，要给出一个说得通的无穷，必须先重新回答"数是什么"。她的路线是把数定义为集合的大小（官方袋子），在这个定义下，无穷成为合法的数，并且存在多种不同大小的无穷。整本书论证的就是这条路线为什么成立、沿途遇到哪些反例、以及哪些直觉必须放弃。
论证的基本工具
陈反复使用两种工具：配对（函数）与袋子（集合）。要判断两个集合是否一样大，把两个集合的元素一一配成对，每一侧每个元素恰好配一次。这种配对在数学里叫双射。对有限集合，这个判断很琐碎，对无限集合才显出用处，因为配对不需要数到末尾。
定义数的办法是先造出"官方袋子"：0 号袋是空袋，1 号袋装一个空袋，2 号袋装 0 号袋和 1 号袋，n+1 号袋装下 0 到 n 号袋。一个集合有多少个元素，就看它能否与某个官方袋子一一配对。这个流程把"加一"重新解释成"把所有前序袋子装进一个新的大袋子"。
把所有自然数袋子装进一个新袋子，就得到无穷号袋子。这个袋子里有无限多个对象，每个对象都对应一个自然数。数学家给它一个记号 ω，中文常译作"欧米伽"。有了这个袋子，配对概念可以直接用于无限集合。
希尔伯特旅馆
希尔伯特旅馆是理解无限集合配对的第一个例子，旅馆以数学家大卫·希尔伯特命名。旅馆有无限多间房间，编号 1、2、3……当全部住满时再来一位新客人，可以请每位客人住到号数加一的房间，房间 1 就空出来。这个做法每步都成立，因为对每个 n，房间 n+1 都存在。
整批无限多新客人同时到达时，移一格的办法失效，因为没有房间"1 + ∞"。改用加倍：原来的客人从房间 n 搬到 2n，全部住进偶数号房间，新客人按顺序住进奇数号房间 2n−1。两层楼的旅馆（两层各有无穷多房间）可以用类似公式疏散：一层住奇数号、一层住偶数号；三层楼用 3n−2、3n−1、3n。
对无穷多层的摩天楼旅馆，任何单一公式都写不出来，因为不能"把房间号乘以无穷"。解法是把所有人按对角线排列后依次疏散。陈从这些疏散里读出一个事实：偶数与自然数一样多，奇数与自然数一样多，两个可数集合合起来仍然可数。
无穷可以是什么数
前面几章逐一排除无穷成为已有各类数的可能。对自然数，关键论证依赖一条规则：自然数满足"方程两边可以同时减去同一个数"。若无穷是自然数，则从 1 + ∞ = ∞ 两边减无穷会得到 1 = 0，矛盾，所以无穷不是自然数。整数、有理数、实数都满足同一条减法规则，同一论证对它们都成立。
陈用"反证法"表述这个论证，并把它比作孩子反驳"你是我的小兔子"："若我是兔子，我该有毛茸茸的尾巴；我没有毛茸茸的尾巴；所以我不是兔子。"她另外提到，无穷被排除在数之外，根子是它拥有的减法行为：从同一个无穷里减去无穷子集，可以剩下任何东西——剩空、剩全部偶数、剩十个元素。
1/0 这条路也走不通。若 0 有乘法逆元 x，即 0 × x = 1，用分配律可推出 0x + 0x = 0x，两边消去 0x 得 0x = 0，于是 0 = 1。因此 0 不允许有乘法逆元，"除以 0"随之失去定义，把无穷定义为 1/0 不可行。
无理数与实数
无理数通常被描述为"无限不循环小数"或"某数的平方根"，陈指出这两条定义都不严格。1/9 展开成小数 0.1111… 无限循环，却是有理数；√4 = 2 是有理数；π 与 e 不是任何数的平方根。她采用的定义是：无理数是不能写成整数之比（分数）的数。
实数（有理数与无理数合起来）在数轴上稠密：任意两个有理数之间有无理数，任意两个无理数之间有有理数。这个性质容易让人以为两类数像奇数偶数那样交替，但事实上无理数比有理数多，多到不可数。这个矛盾要等引入配对计数之后才有严格证明。
可数与不可数
一个无限集合如果能够与自然数（即 ω 袋）建立双射，就称为可数。用这个标准重新检查前面见过的集合：偶数、奇数、整数、有理数都可数。有理数的可数性用疏散法证明：把分数 a/b 的客人安置到摩天楼旅馆第 b 层第 a 间，再层层疏散。疏散过程中有些房间空着（例如 1/2 与 2/4 同住一间），空房间没关系，只要每人都住进自己的房间，事后可以整体向前搬动补齐。
把已知集合"变大"并不会产生更大的无穷。给自然数集合塞进一头大象，配对时让大象配 1、原自然数各往后移一位即可，集合大小不变。这就是"无穷加一还是无穷"的严格版本；两个可数集合的并、可数多个可数集合的并，仍然可数。
对角论证
实数不可数由格奥尔格·康托尔的对角论证给出。设有人声称已经把 0 到 1 之间的所有小数与自然数一一配对。检查第 1 个配对小数的第 1 位、第 2 个配对数的第 2 位，依此类推，每位的数字加一（9 变成 0），得到一个新的小数。这个新小数与第 1 个配对数在第 1 位不同、与第 2 个在第 2 位不同……与第 n 个在第 n 位不同，因此不在任何配对里。声称的配对必然遗漏至少一个实数。
这个论证不依赖任何具体的配对方案。任何声称成功的方案都会被同一个构造击破，所以 0 到 1 的实数不可数，实数比自然数"更无穷"。陈把这种证明称为"打败自作聪明的人"：假设对方已经成功，再从他的成功里造出一个失败。
决策疲劳与选择公理
除了元素太多，还有一个原因让集合无法配对：元素彼此无法区分。无限多双鞋可以编号配对：每双鞋有左右之分，规定每双先取左脚、再取右脚，一条公式就完成配对。无限多双袜子没有左右之分，每双袜子都要临时决定哪只先配，需要做无穷多次选择。
这类无穷多次任意选择能否完成，在数学里没有定论，问题被编码为"选择公理"——一个作为基本假设的出发点。在承认选择公理的世界里袜子可数，在拒绝它的世界里袜子不可数。陈指出，数学家关心的是某个具体证明是否用到了选择公理，用到的场合会被特别标出，就像倒车时响起的蜂鸣声。
计数到无穷之外
要数清实数有多少，先数较小的集合热身。一份两道菜、每道两个选项的菜单，组合数用树状图数：2 × 2 = 4。小数点的每位相当于菜单的一道菜，一位小数有 10 种选择，n 位小数有 10^n 种。
陈改用二进制数实数，理由有两条：10 来自人的十根手指，作为数实数的底数带有人为性；2 是最小的底数。在二进制里，无限位小数对应一棵无限层级的树，树的路径就是 0 到 1 之间的实数。于是实数的数量记为 2^ω（在基数记法下写作 2^ℵ0）。
把 2^n 重新理解为"从 n 件东西里任选子集的方法数"：n 双鞋里选带去度假的鞋，每双回答是或否，得到 2^n 种选择。这个定义对无限集合同样成立，于是 2 的无穷次幂定义为"自然数的全部子集"的数量。康托尔式的论证保证，一个集合的全部子集总是严格大于原集合，所以 2^ω > ω。
基数的层级
把集合大小记为基数。最小的无限基数是自然数的大小，记作 ℵ0（阿列夫零）。陈给出的疏散规则是：每位客人统计排在自己前面的有几人，然后住进相应的房间；这保证了自然数的任何无限子集要么有限、要么与自然数等大，中间没有更小的无穷。
实数基数记为 2^ℵ0。连续统假设（康托尔 1878 年提出）断言实数的基数正是 ℵ0 之后的下一个基数 ℵ1，即不存在大小介于自然数与实数之间的集合。库尔特·哥德尔 1940 年证明这个假设无法被证伪，保罗·科恩 1963 年证明它无法被证明；在策梅洛–弗兰克尔公理系统下，它独立于已知规则，科恩因此获得菲尔兹奖。
层级是否真的变大
取一个集合的"全部子集"，一定会得到基数严格更大的集合；对有限集合这很直观，对无限集合则要用配对与对角化证明。因此，无论站在哪一级无穷上，总能再取一次幂集，得到更大的无穷。只有在广义连续统假设成立时，幂集的大小才恰好是下一个阿列夫数，也就是依次满足 2^ℵ0 = ℵ1、2^ℵ1 = ℵ2……陈由此回应了小孩子"我比你更对"的争论：要压过"对到无穷次方"，得说"对到 2 的无穷次方"，再往上还能继续叠。
序数与另一种算术
基数只问"有多少"，不问顺序。序数把顺序也算进去。希尔伯特旅馆的入住顺序提供了一个判别：先来一个客人、再来无穷多客人，顺序不乱，记 1 + ω = ω；先来无穷多客人、最后再来一个，末尾多出一个人，ω + 1 严格大于 ω。两个结果不同，加法交换律在序数里失效。
排队发彩票的比喻把同样的结论说得更清楚。发完一整本无穷多张红色彩票后，新来的人要开一本蓝色彩票，蓝票全部排在红票之后。一个可以指出"最后到达者"的队列，与一个没有最后到达者的队列，长度必然不同。没有最后到达者的队列称为极限序数。
乘法同样不交换。ω × 2（两批无穷多客人）需要两本彩票，2 × ω（无穷多辆双人自行车依次到达）只用一本。减法在序数里只在一侧可行：可以从队首移除（左边减），无法从队尾移除（右边减），因为找不到队尾。陈指出这正好消解了开头 1 + ∞ = ∞ 的矛盾：只能从左边减，两边减 ω 得 0 = 0。她引用《驯悍记》里的"永远的永远再加一天"：若永远写作 ω，永远加一天就是 ω + 1。
近无穷：增长的速度
并非所有东西都到达无穷，但有些东西增长得无法收住。棋盘放米的传说：第一格一粒，之后每格翻倍，64 格总共约 18,446,744,073,709,551,615 粒，按每克约 50 粒估算，足够喂饱全世界人口约一千年。千层酥皮把面团折三折六次，产生 3^6 层，陈把它当作指数增长最直观的演示。
阶乘增长得更快。iPod Shuffle 广告声称 240 首歌有"一百万种不同的播放顺序"，实际 10 首歌就有超过三百万种（10! 大于一百万）。200! 有 375 位数字，末尾有 49 个零。n! 与 2^n 谁增长得快，把两者相除看谁占上风：n! 的分子随 n 增长而分母恒为 2，阶乘最终压倒 2^n。一般地，2^n 又会压倒任何固定的 n 的幂，尽管 n^100 在 n = 125 之前一直领先。
对数与慢增长
对数把大数压缩成小数：以 10 为底时，log n 等于"10 的几次方得到 n"，也就是 n 的位数。n 到一百万时，log n 才到 6。作者提到一种观点：数字大到一定程度，人脑转为对数式思考，只关心位数，她本人估 200! 的位数和近似棋盘米量时都采用这个做法。
慢增长也能通向无穷。若每次只吃剩下蛋糕的一部分（先是二分之一、然后三分之一、四分之一……），总量按对数增长，仍然无界，尽管每一步看上去都趋近于零。这个例子陈留到第 16 章才给出严格证明，她在此处的用意是提醒读者：直觉在这里靠不住，需要精确的语言判断一个和到底发散还是收敛。
无穷维
维度可以脱离物理空间定义。只要有 n 个相互独立的坐标，就有 n 维。时间可以作为第四维（一个坐标），颜色也可以作为第四维（把自己涂成别的颜色就能穿过白墙）。在"坐标是独立变量"的意义下，人的手臂有七个自由度：肩关节两个、肘一个、腕两个、前臂旋转一个、上臂旋转一个。
维度研究有实际用途。机械臂在三维空间里移动，但设计者关注的是其关节配置构成的高维空间里，哪些位置彼此接近。微创手术需要机械臂微调数毫米，若两个手端位置在配置空间中相隔很远、需要整套重新构型，就无法完成操作。
降维
处理高维空间常靠降维。一种办法是忽略次要变量；另一种是把两个维度合并成一个。问卷里"我更喜欢大群体社交还是单独社交"被压成一条同意—反对的线段，本质上把两个独立变量合并，并暗中假设两者互为反比（零和游戏）。陈以政治坐标为例：经济立场与社会立场本是两个变量，政治罗盘网站把它们画成二维平面，而人们通常只用一个"左—右"轴，丢弃了大量信息。忽略维度和合并维度在数学上是两种不同的操作，前者承认某变量无关紧要，后者假装两个变量彼此捆绑。
无限维范畴论
陈把范畴论称作"关于关系的数学"。关系画成箭头；关系之间的关系画成双箭头，维度由此出现。零维忽略关系，一维允许关系，二维考虑关系之间的关系，每一层都叠上一层。若一直叠下去，就得到无限维范畴。
无限维结构比有限维结构简单。每往上加一维，就多一层细微差别，也推迟了"把不同的东西强行视为相同"的决定；不设上限时，这个决定永远不必做。陈类比：若规定不存在大于 1000 的数，世界会迅速变得不便，所以即便用不到，也需要无穷无尽的大数供给。
合成为什么不结合
把两段旅程接成一段时，为统一计时要把每段速度加倍。接三段旅程时，括号放在不同位置会得到不同的时间分配：先合前两段再合第三段，与先合后两段再合第一段，各段耗时不同。这个运算因此不满足结合律。数学界给出三条出路：在更强的等价关系下把不同分配视为相同（同伦论）、用树记录括号的各种位置（操作域理论）、或研究这些旅程之间的关系（高维范畴论）。
无穷小与极限
一条线能否分成无穷多个点、一个距离能否切成无穷多段，引出芝诺悖论。要到达目的地须先走一半，再走剩下的一半，如此继续，每一步都有剩余。陈区分两类悖论：希尔伯特旅馆属于"真悖论"（结论反直觉但论证有效），芝诺悖论属于"假悖论"（结论矛盾源于论证有缺陷）。
芝诺悖论的解法落在时间上。走一英里到车站，每一段距离都减半，所需时间也减半：7.5 分钟、3.75 分钟、1.875 分钟……无穷多段时间加起来仍是 15 分钟。可以在有限时间内完成无穷多件事，条件是每件事的耗时趋于零。
目标测试
数学要给"除以无穷等于零"一个严格说法，方式是把无穷小改写为"任意小"。陈采用"射击目标"的测试：对手任意缩小靶子，射手中途允许有限多次脱靶，但必须能在某个时刻之后持续命中。序列 1/n 无论 n 多大都不等于 0，但无论靶子多小，总能找到足够大的 n 让 1/n 落进靶内。这个性质被记为"1/n 的极限是 0"。
吃蛋糕问题用同一测试解决。每次吃剩下的一半，剩量依次是 1/2、1/4、1/8……要求剩余小于任意 ε 时，取 n > 1/ε 即可。吃掉的量趋近 1，即整块蛋糕。0.999… 同样处理：它被定义为 0.9、0.99、0.999……这个过程的极限，极限是 1。陈指出，若拒绝这个定义，其他无限小数展开也无法获得意义，实数之间的空隙将无法填补；接受它，逻辑上不产生任何矛盾。
实数的基础
无理数必须填进有理数之间的空隙。√2 的例子里出现第一个空隙：边长为 1 的正方形对角线长度为 d，满足 d² = 2，但任何整数之比 a/b（最简形式）平方后不可能等于 2，反证法说明 √2 不是有理数。由此引出中间值定理：连续地从高度 A 长到高度 B，必经过每一个中间高度；陈借此与同事争论"小胡萝卜是否存在"，因为胡萝卜从小长到大，按连续性必有一刻处于"小"的状态。
无理数的个数多到不可数，却不能逐个数出来。π 可以靠"任何圆周长与直径之比"精确刻画，√2 可以靠"平方等于 2 的正数"刻画，但绝大多数无理数没有这样的刻画。它们只能通过不断缩小的靶子来确定：序列越走越长，数字越变越慢，但永远不知道靶心在哪里。
康托尔与戴德金
1872 年，康托尔与戴德金几乎同时、以完全不同的方式独立地构造出实数。康托尔用缩小靶子的方法：实数被定义为满足目标测试条件的有理数序列，如 e 由 1/n! 的和给出（0! 定义为 1，理由是空歌单只有一种播放方式，即不放）。戴德金则通过有理数之间的空隙构造。两种方法得到的实数都远离人们习惯的"数"的形象，且需要逐条证明它们服从加法、乘法、交换律、两边同减等规则。陈提醒读者，数学归纳法的出发点加一步覆盖所有自然数，与无穷远只隔一条抽象的约定：在原则上完成无穷次，等价于给出起点和递推两步。
无限饼干与调和级数
有限面团可以做出无限多块饼干，只要每块半径按 1/2、1/3、1/4……缩小，并且厚度不变。这些饼干排成一排会延伸无穷远，因为总距离是两倍的调和级数；但它们所占面团总量有限，因为体积项是调和级数的平方版本，而平方项收敛。
调和级数 1/2 + 1/3 + 1/4 + … 与音乐中泛音列的波长比例同源，也是数学中著名的发散级数。它每一步加的都趋近于零，总和却无界。证明方法是分组：按 1、2、4、8 项聚拢，除第一组恰为 1/2 外，每组和都超过 1/2，于是总和超过无穷多个 1/2。把每一项画成宽度 1 的竖条，条形面积无限；1/x 曲线下的面积比条形还大，同样无限，这个面积就是自然对数 ln。
无限面积绕轴旋转一圈可以只扫出有限体积。曲线 1/x 旋转成的形状，横截面积（等于条形面积）无限，而体积有限。陈用悉尼观鲸的经历总结这类体验：晕船的人只看到翻滚的波浪，愿意顺着浪起伏的人能看到鲸群。
环路中的无穷
有限空间里可以容纳无限长的路径，条件是路径成环。陈童年住过的房子各房间绕着烟囱连成一圈，与妹妹可以无限绕圈追逐。数学上这类结构叫覆盖空间：想象跟在身后放一根线穿过迷宫，绕烟囱一圈后线会真的绕住烟囱，无法收回。能收回的环不算真环，收不回的环才有同伦意义上的真实存在。
可持续运行的环存在于许多建筑中：谢菲尔德大学艺术塔的自动循环电梯（paternoster）以环形链路不停运转，乘客在移动中跳上跳下，名字取自念珠与拉丁语的主祷文开头；莫比乌斯环把纸条扭半圈再粘合，正面与背面连成同一面，沿边缘走一圈会回到出发点。陈指出这些环的记号恰好组成无穷符号 ∞ 的写法：一个环转过去，翻面再转一圈。
可迁移的思考方式
陈在结尾说明她对"抽象对象是否存在"的态度：一个想法被想到，它就以想法的方式存在，可以开始玩它，只要它不导致矛盾。她给出的几条贯穿全书的思考原则：先拿熟悉的有限情形做例子，再把它推广到不熟悉的情形；推广中若出现矛盾，回到定义去查错；定义可以按需要选择，但必须承担定义带来的全部逻辑后果。她小时候在 Spectrum 电脑上写过的两行程序——一行打印 HELLO，一行跳回开头——就是"在原则上产生无穷"的最小例子。
全书的最终画面是一颗不断扩张的逻辑球。作者把能解释的东西放在球心，球面是能解释与不能解释的交界，数学的工作是不断把更多东西移进球内；球面随球体变大而变大，能解释的东西越多，交界反而越长，也就有更多美在边界上可看。她承认全书无法解释所有东西，只打算说清"能解释到哪里、边界在哪里"这回事本身。